Ｋ-理論トップ

Ｋ群

ＰＤＦ　｜Ｋ群｜Grothendick群｜Exact category｜ 　同一の底空間を持つベクトル束の同型類にはWhiteny和、テンソル積という演算が定義され、これにより可換半環の構造を持つ。つまり、和における逆元だけは保障されていない。 　一般に可換半群、あるいは可換半環から可換群、可換環を構成する方法として、Grothendick群がある。これは例えば、自然数と0からなる集合N∪0が通常の和と積に対し可換半環なのに対し、これを拡張して整数環Zを構成することと考えられる。方法としては具体的に自由加群の商群として定義するほか、universalityによって定義する事もできる。ベクトル束の場合にはそれとは別に、同値関係であるベクトルの同型というのを少し緩め、安定同型あるいは安定同値というものを考えれば、底空間に条件はつくがその同値類で可換環を構成できる。 　一般にK群というと複素ベクトル束に対して定義されるものであるが、ここでは余り区別しない。区別する場合、実ベクトル束に対してはKO群が定義される。 　複素Ｋ−理論の場合、このＫ群が主体になるのだが、なにも空間のベクトル束から構成する方法だけではない。X→Cという複素数値連続関数環上の有限生成射影加群の集合からも構成できる。これはalgebraic K-theoryの構成である。関数解析の見地からはその連続関数環をC*環と考えて、その射影元の集合と考えることもできる【生中07】, 【生中07'】。 　Grothandieck群と聞くとどちらかというと、Abelian categoryやtriangulated categoryにおいて定義された物を思い浮かべる。最終的にはexact category上で定義される。例えば、posetなどの比較的安易なsmall categoryの体上の表現なんかを考えた際、このGrothandieck群は、posetのsimple objectに対応するsimple moduleで生成された自由加群であるらしい。